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yobo体育官网app_ 第二类线积分与格林公式

编辑:yobo体育官网全站下载 来源:yobo体育官网全站下载 创发布时间:2022-03-26阅读57639次
  本文摘要:最近,我在学习多元微积分时,遇到了不少难题,对于许多观点有点混淆,对于不少公式总是记不住,今天我们就对高数中的这部门内容举行一点点解说,以下的内容均为我自己的明白,对于数学上可能缺少严谨性,其中可能也存在错误,仅供大家参考明白。

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最近,我在学习多元微积分时,遇到了不少难题,对于许多观点有点混淆,对于不少公式总是记不住,今天我们就对高数中的这部门内容举行一点点解说,以下的内容均为我自己的明白,对于数学上可能缺少严谨性,其中可能也存在错误,仅供大家参考明白。第二型线积分:首先,我们研究一个实际问题,当一个力作用在物块上时,当这个力的巨细和偏向稳定,且物块沿着直线运动时,力所做的功为现在当我们的力和直线不在一条直线上,力所作的功如何来表现呢?凭据中学学过的知识,我们可以知道,用向量的形式表达就是,也就是向量F和AB做点积。再把难度提高一点,如果这个物块的运动轨迹是曲线,力的巨细也在不停变化,我们如何能够获得力所作的功呢?要解决这个问题,我们就要拿起微积分这有力的武器了。

微积分就像是一把西瓜刀,可以把曲线砍成一段一段的。当我们“刀工足够好”,把曲线砍的足够细密时,切开的每一小段曲线就可以近似的认为是直线了。

就像我们每小我私家虽然生活在地球这个球上面,可是我们却感受不到地球是弯的。现在对于每一段微小的曲线,我们可以认为作用在曲线上的力巨细稳定,运动偏向确定,这时力F做的功就酿成了第二种情况,把所有小弧段上力做的功加起来,便获得了整条曲线上力F做的功W,这样我们就可以界说第二类线积分。

知道了第二类线积分,但对于我们如何举行盘算呢?在中学的时候我们就学过,界说了沿x,y轴偏向的单元向量,我们就可以把任意一个向量用坐标的形式来举行表现。显然变力A(M),很小的一段位移ds是两个向量,自然这两个向量可以用坐标表现出来。

假设,凭据向量内积的公式,我们就能够把这个第二类线积分表现为这样,沿着曲线做的功就可以算出来了:格林公式我们已经知道如何求出F沿着曲线运动做功的巨细,如果我们把曲线变得特殊一点,让这个曲线不再是随便的一条曲线,而是一条关闭的曲线,如何求这个力在关闭曲线上所做的功呢?谜底是显然的,关闭曲线也还是一条曲线,力所做的功仍然可以用第二类线积分来举行表现。固然,力所作的功是有正负之分的,首先,我们把逆时针偏向划定为正偏向。这样子我们就可以把这个力作的功表达出来了,和之前相同,我们把F和ds都用坐标举行表现,这一次,我们把它在xoy平面举行表现,这样我们获得。

现在,我们来思量另一种方法来求力F在关闭曲线上是如何做功的,如图我们知道,力F可以用一个变量为x,y的函数表现,所以每确定一个位置,我们就可以确定这个位置的力的偏向和巨细,也就可以求出差别路径上F所做的功到底是几多。我们把整个曲线分为S1,S2两个部门,显然在S1曲线上力所作做的功即是力在AB,弧BCA上做的功的和。在S2曲线上,力所作做的功即是力在BA,弧ADB上做的功的和,那么力在S1和S2曲线上做的功即是在在AB,弧BCA在BA,弧ADB上做的功的和,因为向量AB和向量BA偏向相反,所以力做的功的巨细也相反,则力做的功的和就是弧BCA,弧ADB上做的功,也就是在整个曲线S上做的功。

现在,我们再次拿起微积分这把西瓜刀,把S区域这张大饼砍成无数多个小块。类似于之前的思想,我们可以先把每一个小块(D1)上的功算出来,再把它们全部都加起来,这样我们便获得整个区域上的功。而就像把曲线S分成两个小块,中间的曲线上力做的功就抵消一样,无数个小块之间公用的曲线上力做的功也抵消了。

这样我们算出的仍然是整个关闭曲线上力所做的功。现在我们开始盘算区域D1上力做的功:显然,这两种方法都是对同一个关闭曲线求力做的功,我们只是接纳了两种差别的方法来举行盘算,力做的功是相同的。这样我们就获得了最后的结论:把这个公式叫做格林公式,通过这个式子我们可以看出,格林公式建设了平面区域上的二重积分与沿着界限曲线的第二型线积分之间的关系。

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